Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边BC上（点F与B、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB，
又∠CAD=∠CAD，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴=，即=，AD=．

（2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：
如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即=，
∵AC=3，BC=4，AE=x，
∴=，EF=x，
S_△AEF=y=AE•EF=x•x=x²．
如图B：当AD＜x≤AB，即＜x≤5时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴=，
∵AE=x，△AEF的面积为y，=，
∴EF=，
y=×AE×EF=x•=-．
②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤时，
S_△AEF=y=AE•EF=x•x=x²，当x=AD，即x=时，y_最大=×（）²=．
如图B：当AD＜x≤BD，即＜x≤5时，
y=x×（5-x）=-，y_最大=，此时x=2.5＜5，故成立．
故y_最大=．

（3）不存在．
根据题意可知：直线EF把△ABC的周长分为相等的两部分，
即AC+CF+AE=FB+EB，
又∵CF+FB=BC，
∴3+x+4-FB=FB+5-x，即FB=x+1，
∵sinB==，
∴EF=FB•sinB=（x+1），
又∵直线EF把△ABC的面积分为相等的两部分，
∴S_△EFB=EB•FE=S_△ABC=3，
即（5-x）•（x+1）=3，
化简得：x²-4x+5=0，
∵△=b²-4ac=16-20=-4＜0，
∴此方程无解，
故不存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的长；
（2）①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式；
②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可．
（3）先求得△ABC的面积的，进而得到△AEF得到面积的函数关系式，让它等于3列式即可求解．
点评：此题比较复杂，是典型的动点问题，涉及面较广，涉及到勾股定理、二次函数的最值及相似三角形的有关知识，综合性较强．