如图(1).△ABC与△EFD为等腰直角三角形.AC与DE重合.AB=AC=EF=9.∠BAC=∠DEF=90º.固定△ABC.将△DEF绕点A顺时针旋转.当DF边与AB边重合时.旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况.设DE.DF分别交BC 于G.H点.如图(2) (1)问:始终与△AGC相似的三角形有及 , (2)设CG=x.BH=y.求y关于x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）

（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

【答案】

解：（1）△HAB ，△HGA。

（2）∵△AGC∽△HAB，∴，即。

∴。

又∵BC=。

∴y关于x的函数关系式为。

（3）①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图1，

可知。

②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2，

在△HGA和△AGC中

∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=45⁰，

∴△HGA∽△AGC。

∵AG=AH，∴

∴当或时，△AGH是等腰三角形。

【解析】（1）在△AGC和△HAB中，

∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+90⁰—∠GAC=135⁰—∠GAC，

∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=90⁰+45⁰—∠GAC，

∴∠AGC=∠BAH。

又∵∠ACG=∠HBA=45⁰，∴△AGC∽△HAB。

在△AGC和△HGA中，

∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=45⁰—∠CAF，

∠H=180⁰-∠ACH—∠CAH=180⁰—135⁰—∠CAF=45⁰—∠CAF，

∴∠CAG=∠H。

又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。

（2）利用△AGC∽△HAB得对应边的比即可得。

（3）考虑∠GAH是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。

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