Question

如图，已知弦AB与半径相等，连接OB，并延长使BC=OB．
（1）问AC与⊙O有什么关系．并证明你的结论的正确性．
（2）请你在⊙O上找出一点D，使AD=AC（自己完成作图，并证明你的结论）．

Answer 1

解：（1）AC是⊙O的切线．
证明：连接OA，
∵OA=OB=AB，
∴∠OBA=∠OAB=∠O，
∵BC=OB，
∴BC=AB，
∴∠C=∠CAB，
∵∠O+∠C+∠OAC=180°，
即∠O+∠OAB+∠CAB+∠C=180°，
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°，
即OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）延长BO交⊙O于D，连接AD，则AD即为所求．
理由：∵OB=OA=AB，
∴∠AOB=60°，
∵∠OAC=90°，
∴∠C=90°-∠AOB=30°，
∵∠D=∠AOB=30°，
∴∠D=∠C，
∴AC=AD．
分析：（1）连接OA，由OA=OB=AB，BC=OB，可得AB=BC，根据等边对等角，即可得∠O=∠OAB，∠C=∠CAB，又由三角形内角和定理，可求得∠OAC=90°，即可证得AC是⊙O的切线；
（2）延长BO交⊙O于D，连接AD，则AD即为所求；由OA=OB=AB，可求得∠AOB=60°，继而可得∠C=30°，又由圆周角定理，求得∠D=30°，然后根据等角对等边，即可证得AD=AC．
点评：此题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．