Question

世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第十行的第四个数是

 

，世界上著名的莱布尼茨三角形通项公式第四列通项公式为

 

．

Answer 1

分析：观察不难发现，下一行的第一、二个数的和等于上一行的第一个数，第二、三个数的和为上一行的第二个数，依此类推分别求出第8、9、10行的第一、二、三、四个数，并根据求解方法用上一行的第四个数表示出下一行的第四个数，再写出第四列数的通项公式即可．

解答：解：第8行的第一个数为

1

8

，第二个数为

1

7

-

1

8

=

1

56

，第三个数为

1

42

-

1

56

=

1

168

，第四个数为

1

105

-

1

168

=

1

280

，
第9行的第一个数为

1

9

，第二个数为

1

8

-

1

9

=

1

72

，第三个数为

1

56

-

1

72

=

1

252

，第四个数为

1

168

-

1

252

=

1

504

，
第10行的第一个数为

1

10

，第二个数为

1

9

-

1

10

=

1

90

，第三个数为

1

72

-

1

90

=

1

360

，第四个数为

1

252

-

1

360

=

1

840

，
∵

1

4

×

1

5

=

1

20

，

1

20

×

2

6

=

1

60

，

1

60

×

3

7

=

1

140

，

1

140

×

4

8

=

1

280

，

1

280

×

5

9

=

1

504

，

1

504

×

6

10

=

1

840

，
∴第n行的第四个数为

1

4

×（

1

5

×

2

6

×

3

7

×

4

8

×

5

9

×

6

10

×…×

n-4

n

）=

1

4

×

1×2×3×4

n(n-1)(n-2)(n-3)

=

6

n(n-1)(n-2)(n-3)

，
所以，排在第十行的第四个数是

1

840

，通项公式第四列通项公式为

6

n(n-1)(n-2)(n-3)

．
故答案为：

1

840

，

6

n(n-1)(n-2)(n-3)

．

点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出下一行的相邻的两个与上一行的数的关系是解题的关键，求第四列数的通项时，难点在于观察出用上一行的数表示出下一行的数所乘的分数．