Question

我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．如图1，AD是△ABC边BC上的中线，则S_△ABD=S_△ACD

（1）如图2，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图3，在△ABC中，已知点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S_△ABC=8，求△BEF的面积S_△BEF
（3）如图4，△ABC的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A₁B₁C₁．再分别倍长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁得到△A₂B₂C₂…按此规律，倍长n次后得到的△A_nB_nC_n的面积为

 

．

Answer 1

考点：三角形的面积

专题：规律型

分析：（1）根据三角形中线的性质列出等式，得出答案．
（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用S_△ABC表示出△ABD、△ACD、△BDE，△CDE的面积，然后表示出△BCE的面积，再表示出△BEF的面积，即可得解．
（3）根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A₁B₁C₁的面积是△ABC的面积的7倍，依此类推写出即可．

解答：（1）答：S_△ABF=S_{四边形CEFD}．理由：
解：如图，
∵AD和BE是△ABC的两条中线，
∴△ABD面积=△ACD面积，△BCE面积=△ABE面积，
即S₁+S₄=S₂+S₃①，S₂+S₄=S₁+S₃②，
①-②得：S₁-S₂=S₂-S₁，
∴S₁=S₂．
∴S_△ABF=S_{四边形CEFD}．

（2）解：∵点D、E分别为BC、AD的中点，
∴S_△ABD=S_△ACD=

1

2

S_△ABC，
S_△BDE=

1

2

S_△ABD=

1

4

S_△ABC，
S_△CDE=

1

2

S_△ACD=

1

4

S_△ABC，
∴S_△BCE=S_△BDE+S_△CDE=

1

4

S_△ABC+

1

4

S_△ABC=

1

2

S_△ABC，
∵F是CE的中点，
∴S_△BEF=

1

2

S_△BCE=

1

2

×

1

2

S_△ABC=

1

4

S_△ABC，
∴S_△BEF：S_△ABC=1：4．
又∵S_△ABC=8
∴S_△BEF=2．

（3）解：连接AB₁、BC₁、CA₁，根据等底等高的三角形面积相等，
△A₁BC、△A₁B₁C、△AB₁C、△AB₁C₁、△ABC₁、△A₁BC₁、△ABC的面积都相等，
所以，S_△A1B1C1=7S_△ABC，
同理S_△A2B2C2=7S_△A1B1C1，=7²S_△ABC，
依此类推，S_△AnBnCn=7ⁿS_△ABC，
∵△ABC的面积为1，
∴S_△AnBnCn=7ⁿ．
故答案为：7^n．

点评：主要考查了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．