Question

8．如图，已知抛物线y=-x²+mx+m-2的顶点为A，且经过点B（3，-3）．
（1）求顶点A的坐标；
（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB=45°，求点P坐标；
（3）如图（2），将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得QH，BH的长，可得Q点坐标，根据待定系数法，可得直线AP的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；
（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）依题意-3²+3m+m-2=-3
∴m=2，
∴y=-x²+2x=-（x-1）²+1
∴顶点A（1，1）；
（2）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴
分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H，
∠AGB=∠ABQ=∠BHQ=90°，
∴∠ABG=∠BQH．
∵∠PAB=45°，
∴BA=BQ．
在△ABG和△BQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠BHQ}\\{∠ABG=∠BQH}\\{AB=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BQH  （AAS），
∴AG=BH=3-1=2，BG=QH=1-（-3）=4
∴Q（-1，-5）
∴直线AP的解析式为y=3x-2
联立抛物线与AP，得
∴-x²+2x=3x-2
∴x₁=1（不符合题意的解要舍去），x₂=-2      
∴P（-2，-8）；
（3）在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是为定值，
∵直线OA的解析式为y=x，
∴可设新抛物线解析式为y=-（x-a）²+a
联立抛物线与OA，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-a）^{2}+a}\\{y=x}\end{array}\right.$，
∴-（x-a）²+a=x，
∴x₁=a，x₂=a-1，x₁-x₂=1；
y₁x₁=a，y₂=x₂=a-1，y₁-y₂=1；
即C，D两点横坐标的差是常数1，C，D两点纵坐标的差是常数1，
∴CD=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（a-a+1）^{2}+（a-a+1）^{2}}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是定值．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用全等三角形的判定与性质得出Q点坐标是解题关键，又利用了解方程组得出P点坐标；利用勾股定理得出CD的长．