Question

13．如图，二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标为（2，3），与x轴交于点A（-1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连结BC、OC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△OBC相似？若存在点P，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）求得B（5，0），如图，设对称轴与x轴交点为D，则CD=BD=3，得到∠DCB=∠DBC=45°求得BC=3$\sqrt{2}$设P（2，t），①当△PCB∽△OBC时，则$\frac{PC}{OB}=\frac{CB}{BC}$=1，求得t=-2得到P（2，-2）；②当△BCP∽△OBC时，列比例式求得t=-$\frac{3}{5}$，即可得到P（2，-$\frac{3}{5}$）．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标为（2，3），
∴设二次函数的解析式为：y=a（x-2）²+3，将（-1，0）点代入得：a=-$\frac{1}{3}$，
故二次函数的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+3
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x$+\frac{5}{3}$；

（2）存在，
在y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x$+\frac{5}{3}$中，令y=0，则-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x$+\frac{5}{3}$=0，解得：x₁=-1，x₂=5，
∴B（5，0），
∵抛物线的对称轴方程为：x=2，
如图，设对称轴与x轴交点为D，则CD=BD=3，
∴∠DCB=∠DBC=45°
∴BC=3$\sqrt{2}$
设P（2，t），
①当△PCB∽△OBC时，则$\frac{PC}{OB}=\frac{CB}{BC}$=1，
∴PC=OB，即3-t=5，
∴t=-2，∴P（2，-2）；
②当△BCP∽△OBC时，则$\frac{BC}{OB}=\frac{CP}{BC}$，即$\frac{3\sqrt{2}}{5}=\frac{3-t}{3\sqrt{2}}$，
∴t=-$\frac{3}{5}$，
∴P（2，-$\frac{3}{5}$），
综上所述：存在点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△OBC相似，点P的坐标为（2，-2），（2，-$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，找准三角形相似是解题的关键．