Question

如图，直线y=x+b（b＞0）分别与y轴x，轴交与点A，C，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点M，过点M作MB⊥y轴于点B，△ABM是△AOC关于点A的位似图形，且△ABM与△AOC的位似比是1：3，△ABM的面积为0.5．
（1）求k的值；
（2）点N（a，1）是反比例函数y=（x＞0）的图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图1，连接OM．
∵△ABM与△AOC的位似比是1：3，
∴=，
∵△ABM与△AOM等高，且S_△ABM=0.5，
∴S_△AOM=1.5，
∴S_△BOM=2，
∴k=4．
（2）存在．如图2，
∵点N（a，1）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴a=4，即点N的坐标为（4，1），
∵直线y=x+b分别与y轴、x轴交于点A，C，
∴点A（0，b），点C（-b，0），
∴OA=OC，
∵△ABM与△AOC位似，AO=b，
∴AM=BM=b，
∴OB=b，
∴点M的坐标为（b，b）．
又∵点M在反比例函数的图象上，
∴b•b=4，
解得b₁=3，b₂=-3（舍去），
∴点M的坐标为（1，4）．
设点N关于x轴的对称点为点N₁，连接MN₁，交x轴于点P，此时PM+PN的值最小，
∵点N与点N₁关于x轴对称，
∴点N₁的坐标为（4，-1），
设直线MN₁的解析式为y=mx+n，则，
解得，
∴直线MN₁的解析式为y=-x+，
∴点P的坐标为（，0）．
分析：（1）根据位似比求出△ABM与△AOC的底边的比，再根据两三角形的高相等，求出两三角形的面积比，从而求出S_△BOM的值，然后根据k的几何意义求出k的值；
（2）根据轴对称作出N的对称点坐标，然后利用待定系数法求出MN₁的解析式，求出直线与x轴的交点即可．
点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及反比例函数k的几何意义、一次函数与反比例函数的交点问题、轴对称---最短路径问题，难度较大．