Question

如图：已知y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，A，B坐标分别是（-1，0）和（3，0）与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式，并确定其对称轴；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△ACE的周长最小？若存在，求出点E的坐标，并求出最小周长；若不存在，请说明理由；
（3）在第一象限内抛物线上是否存在一点D，使得四边形OCDB的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得：
解得：

∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，对称轴为：；

（2）存在．
连接BC．设BC表达式为：y=kx+b．由题意得：

解得：b=3，k=-1
∴y=-x+3，当x=1时，y=-1+3=2
∴点E坐标为（1，2）．此时△ACE的周长最小，周长=AC+BC
在直角三角形AOC和直角三角形BOC中，由勾股定理得：
AC=，BC=3
∴周长=AC+BC=；

（3）存在．设点D如图所示，过点D作DE⊥OC于点E，
设点D的坐标为（a，-a²+2a+3），则E点坐标为（0，-a²+2a+3）
∴EC=-a²+2a+3-3=-a²+2a，DE=a
S_{四边形OCDB}=S_梯形OEDB-S_△EDC=（a+3）（-a²+2a+3）-a（-a²+2a）
即S=，

当时，S_最大=
当a=时，，
∴此时点D的坐标是．
分析：（1）要求抛物线的解析式，直接利用待定系数法把已知点的坐标代入解析式构造一个三元一次方程组就可以了．然后代入对称轴公式就可以求出对称轴了．
（2）是一个轴对称问题，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，利用两点之间线段最短，连接BC于对称轴的交点就是点E．再求出BC的解析式，最后于对称轴的解析式建立二元一次方程组，就可以求出点E的坐标．
（3）设出点D的坐标，作ED⊥OC于点D，就可以表示出点D的坐标，从而表示出四边形面积的表达式，利用函数的解析式确定其最值，有最大值则点D存在，就可以求出D点的坐标．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式、勾股定理、轴对称的性质、平面图形的面积的计算，抛物线的顶点式的运用等多个知识点，难度比较大．