Question

阅读题：我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形小数时难入微，数形结合百般好，隔离分家事万休．”数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
例：求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数；
如果采用数形结合的方法，现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：
如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3…n个小圆圈的个数恰好为所求式子1+2+3+4+…+n的值，为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为

n(n+1)

2

，即1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

①仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n为正整数（要求画出图形，写出结果即可）
②试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数（要求画出图形，写出结果即可）

Answer 1

分析：①根据题干的分析方法，我们也可以作出一个平行四边形，平行四边形的边长分别为2n，n；则组成一个平行四边形小圆圈的总个数为n×2n个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为n×n．
②根据提干的分析方法，如下图所示，我们可以作出一个正方形，它的边长为n，此时小圆圈的总个数为：n×n=n²．

解答：解：①

组成平行四边形小圆圈的总个数为n×2n个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为n×n=n²．
②

可以组成一个边长为n的正方形，因此1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n²．

点评：本题属于图形变化类得出规律型，关键在于根据提干得出方便求解的图形，如：平行四边形、正方形等．