Question

小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线L，他发现：这2007个点中的每一点关于直线L的对称点，仍在这2007个点中，请你说明：这2007个点中至少有1个点在直线L上．

Answer 1

分析：首先假设这2007个点都不在直线L上，得出每个点A_i（i=1，2，…，2007）关于直线L的对称点A′₁仍在这2007个点中，
不在直线L上点A_i（i=1，2，，2007）与A_i关于直线L对称的点A′_i成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾．

解答：证明：假设这2007个点都不在直线L上，
由于其中每个点A_i（i=1，2，…，2007）关于直线L的对称点A′₁仍在这2007个点中，
所以A′_i不在直线L上．
也就是说，不在直线L上点A_i（i=1，2，，2007）与A_i关于直线L对称的点A′_i成对出现，
即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾，
因此，“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立，即这2007个点中至少有1个点在直线L上．

点评：此题主要考查了反证法的应用，从命题的反面出发，假设出2007个点都不在直线L上，根据平面上点的坐标性质得出矛盾，进而肯定命题正确是解决问题的关键．