Question

如图，已知两点A（-8，0），C（4，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C．
（1）求过A、C两点的直线的解析式和经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若点D是（1）中抛物线的顶点，求△ACD的面积．

Answer 1

解：（1）连接AC、BC．则有∠ACB=90°，根据射影定理有：
OC²=OA•OB，
∴OB=OC²÷OA=16÷8=2
∴B（2，0）
设直线AC的解析式为y=kx+4，已知直线AC过A（-8，0），则有
-8k+4=0，k=．
∴直线AC的解析式为：y=x+4
设抛物线的解析式为y=a（x+8）（x-2），
已知抛物线过C（0，4），因此：
a（0+8）（0-2）=4，a=-
∴抛物线的解析式为y=-（x+8）（x-2）=-（x+3）²+．

（2）易知：D（-3，）
设直线AE与抛物线对称轴交于E点，则有E（-3，）
因此DE=
∴S_△ACD=S_△AED+S_△CDE=××5+××3=15（平方单位）．
分析：（1）可根据A、C的坐标用待定系数法求出直线AC的解析式．
连接AC，BC，在直角三角形ACB中，可用射影定理求出OB的长，即可得出B点的坐标．然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）由于△ACD的面积无法直接求出，因此可化为其他图形面积的和差来进行求解．
设抛物线的对称轴与直线BC交于E点，可先根据直线AC的解析式求出E点的坐标，然后分别计算出三角形ADE和CDE的面积，即可得出三角形ACD的面积．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定，图形面积的求法等知识点．