Question

11．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点（-1，-2$\sqrt{2}$），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点D，当$\frac{AD}{CD}$=$\sqrt{2}$时，则点C的坐标为（2，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 连接OC，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点，CE交x轴于D点，由反比例函数的性质可知A、B关于原点O对称，设出A点坐标（m，am），结合△ACB为等腰直角三角形可以用m、a表示出C点坐标，由相似三角形的对应边之比等于相似比，可得出a的值，再根据点A在反比例函数图象上，可得出m的值，将a、m代入点C的坐标，即可求得结论．

解答 解：连接OC，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点，CE交x轴于D点，如图：

由反比例的性质可知，A、B两点关于中心O对称，即OA=OB，
又∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CO⊥AB，且OC=OA．
设直线AB的解析式为y=ax（a＞0），则OC的解析式为y=-$\frac{1}{a}$x，
设点A（m，am），点C（an，-n），
∵OA=OC，即m²+（am）²=（an）²+n²，
解得n=±m，
∵A在第一象限，C在第三象限，
∴n=m＞0，
即C（am，-m）．
∵AE∥x轴，CE∥y轴，
∴∠CDF=∠CAE，∠CFD=∠CEA=90°，
∴△CDF∽△CAE，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CD}{CA}$，
又∵$\frac{AD}{CD}$=$\sqrt{2}$，AC=AD+CD，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，
∵点A（m，am），点C（am，-m），
∴点E（am，am），点F（am，0），
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{0-（-m）}{am-（-m）}$=$\frac{1}{a+1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，
即a=$\sqrt{2}$．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点（-1，-2$\sqrt{2}$），
∴-2$\sqrt{2}$=$\frac{k}{-1}$，解得k=2$\sqrt{2}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$，
又∵点A（m，am）在反比例函数的图象上，且a=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$m=$\frac{2\sqrt{2}}{m}$，解得m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$（舍去）．
将a=$\sqrt{2}$，m=$\sqrt{2}$代入点C（am，-m）中，可得：点C的坐标为（2，-$\sqrt{2}$）．
故答案为：（2，-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了相似三角形的判定及性质和反比例函数等相关知识，解题的关键是利用反比例函数的对称性，设出A点坐标（m，am），用a、m去表示B、C的坐标，再借助相似三角形的相似比跟点在反比例函数图象上求出a、m的值．