如图，已知对称轴为x=- $数学公式$ 的抛物线y=ax²+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=3，D是抛物线上一点，且DC⊥OC．
（1）求点D的坐标及抛物线y=ax²+bx+c的表达式；
（2）连接OD，直线y= $数学公式$ x+m与OD交于点E，与y轴交于点F，若OE：DE=1：2，求m的值；
（3）若M是直线EF上一动点，在x轴上方是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线的对称轴为x=- $\text{[math]}$ ，经过点A（3，0），
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，

∴抛物线解析式为y=- $\text{[math]}$ x²-x+6；

（2）∵y=- $\text{[math]}$ x²-x+6，
∴x=0时，y=6，即C点坐标为（0，6），
∴当y=6时，- $\text{[math]}$ x²-x+6=6，
解得x=0或-3，
∴D点坐标为（-3，6），DC=3．
如图，过点E作EG⊥y轴于点G，则EG∥DC，
∴△OEG∽△ODC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EG= $\text{[math]}$ DC=1，OG= $\text{[math]}$ OC=2，
∴E点坐标为（-1，2）．
将E点坐标代入y= $\text{[math]}$ x+m，
得2=- $\text{[math]}$ +m，
解得m= $\text{[math]}$ ；

（3）若M是直线EF上一动点，在x轴上方存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形．
分两种情况：
①如图，OF为菱形的边时，如果OF=FM₁=M₁N₁=N₁O= $\text{[math]}$ ，
延长M₁N₁交x轴于点G₁，则M₁N₁⊥x轴．
∵点M₁在直线y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 上，
∴设点M₁的坐标为（a， $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ）（a＞0），则点N₁的坐标为（a， $\text{[math]}$ a），
在Rt△OG₁N₁中，OG₁²+G₁N₁²=ON₁²，
即：a²+（ $\text{[math]}$ a）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
整理得：a²=5，
∵a＞0，
∴a= $\text{[math]}$ ，
∴点N₁的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
同理，求得点M₂的坐标为（-2， $\text{[math]}$ ）（a＞0），则点N₂的坐标为（-2，4）；

②如图，OF为菱形的对角线时，连接M₃N₃，交OF于点P，则M₃N₃与OF互相垂直平分，
∴OP= $\text{[math]}$ OF= $\text{[math]}$ ，
∴当y= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：x=- $\text{[math]}$ ，
∴点M₃的坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴点N₃的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
综上所述，x轴上方的点N有3个，分别为N₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），N₂（-2，4），N₃（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据抛物线对称轴得到关于a、b的一个方程，再把点A点坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出a、b的值，即可得解；
（2）先求出抛物线y=- $\text{[math]}$ x²-x+6与y轴交点C的坐标为（0，6），将y=6代入，求出x的值，得到D点坐标及DC=3，再过点E作EG⊥y轴于点G，由EG∥DC，得到△OEG∽△ODC，根据相似三角形对应边成比例得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出EG，OG的值，得出E点坐标，然后将E点坐标代入y= $\text{[math]}$ x+m，即可求出m的值；
（3）分两种情况进行讨论：①OF为菱形的边时，延长M₁N₁交x轴于点G₁，则M₁N₁⊥x轴．设点M₁的坐标为（a， $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ），则点N₁的坐标为（a， $\text{[math]}$ a），在Rt△OG₁N₁中，运用勾股定理得出OG₁²+G₁N₁²=ON₁²，列出关于a的方程，解方程即可，同理求出点N₂的坐标；②OF为菱形的对角线时，连接M₃N₃，交OF于点P，根据菱形的性质可知M₃N₃与OF互相垂直平分，则OP= $\text{[math]}$ OF= $\text{[math]}$ ，将y= $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，求出x的值，进而得到点N₃的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、菱形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．

练习册系列答案

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知对称轴为直线x=4的抛物线交x轴于点A、B（点A在B左侧），且点B坐标为（6，0），过点B的直线交抛物线于点C（3，4）．
（1）写出点A坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）若点P在抛物线的BC段上，则x轴上时否存在点Q，使得以Q、B、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请分别求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值，以

M、N、B为顶点的三角形与△ABC相似，写出计算过程．