Question

如图，已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△BDE，P为CE中点，连接PA、PD，试探究PA、PD的关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：延长AP至F，使AP=PF，连接EF、AD，根据SAS求得△APC≌△FOE得出AC=EF，∠ACP=∠PEF，进而求得AB=EF，∠ABD=∠DEF，即可求得△ABD≌△FED，得出AD=DF，∠ADB=∠FDE，从而求得∠ADF=90°，得出△ADF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可证得PA=PD，PA⊥PD．

解答：解：PA=PD，PA⊥PD，
理由是：证明：延长AP至F，使AP=PF，连接EF、AD，
在△APC与△FOE中，

AP=PF ∠APC=∠FPE CP=EP

，
∴△APC≌△FOE（SAS），
∴AC=EF，∠ACP=∠PEF，
∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△BDE，
∴AC=AB，BD=DE，∠ACB=∠ABC=∠DBE=∠DEB=45°，
∴AB=EF，
∵∠ABD=360°-∠ABC-∠DBE-∠CBE=270°-∠CBE，∠DEF=∠DEB+∠PEF+∠BEP=∠DEB+∠ACP=∠DEB+∠ACB+∠BCE+∠BEP=90°+180°-∠CBE=270°-∠CBE，
∴∠ABD=∠DEF，
在△ABD和△FED中，

BD=DE ∠ABD=∠FED AB=EF

，
∴△ABD≌△FED（SAS），
∴AD=DF，∠ADB=∠FDE，
∵∠FDE+∠BDF=∠BDE=90°，
∴∠ADB+∠BDF=90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵P是AF的中点，
∴PA=PD，PA⊥PD．

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰直角三角形斜边上的中线的性质等，作出辅助线构建等腰直角三角形是本题的关键．