Question

13．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF经过点O，交AD于E，交BC于F，且AF⊥BC
（1）求证：OE=OF；
（2）求证：四边形AFCE是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质和平行线性质得出OA=OC，∠OAE=∠OCF，证△AOE≌△COF，推出OE=OF；
（2）由矩形的定义即可得出四边形是矩形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠OCF}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，

（2）由（1）知，OE=OF．
又OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴四边形AFCE是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．