Question

如图，反比例函数的图象经过点A（-2，5）和点B（-5，p），?ABCD的顶点C、D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上，二次函数的图象经过点A、C、D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求点C、D的坐标；
（3）如果点E在第四象限的二次函数图象上，且∠DCE=∠BDO，求点E的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设反比例函数的解析式为

k

x

．由A的坐标可求出k的值，B的横坐标已知，所以可求出纵坐标，设直线AB的表达式为y=mx+n，分别把A，B坐标代入求出m和n的值即可；
（2）由□ABCD中，AB∥CD，可设设CD的表达式为y=x+c，根据平行四边形的性质：对边相等即可求出c的值；
（3）设二次函数的解析式为y=ax²+bx-3，由已知条件易求a和b的值，作EF⊥y轴，BG⊥y轴，垂足分别为F、G．设CF=3t，则EF=5t，OF=3-3t，代入抛物线的解析式求出t的值即可．

解答：解：（1）设反比例函数的解析式为

k

x

．
∵它图象经过点A（-2，5）和点B（-5，p），
∴5=

k

-2

，
∴k=-10，
∴反比例函数的解析式为y=-

10

x

．
∴p=-

10

-5

=2，
∴点B的坐标为（-5，2）．
设直线AB的表达式为y=mx+n，
则

5=-2m+n 2=-5m+n

，
∴

m=1 n=7

，
∴直线AB的表达式为y=x+7；
（2）由□ABCD中，AB∥CD，设CD的表达式为y=x+c，
∴C（0，c），D（-c，0），
∵CD=AB，
∴CD²=AB²
∴c²+c²=（-5+2）²+（2-5）²，
∴c=-3，
∴点C、D的坐标分别是（0，-3）、（3，0）；
（3）设二次函数的解析式为y=ax²+bx-3，二次函数的图象经过点A、D．
∴

5=4a-2b-3 0=9a+3b-3

，
∴

a=1 b=-2

，
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3．
作EF⊥y轴，BG⊥y轴，垂足分别为F、G．
∵OC=OD，BG=CG，
∴∠BCG=∠OCD=∠ODC=45°．
∴∠BCD=90°，
∵∠DCE=∠BDO，
∴∠ECF=∠BDC，
∴tan∠ECF=tan∠BDC=

BC

CD

=

(0+5)2+(3+2)2

(3-0)2+(0+3)2

=

5

3

，
设CF=3t，则EF=5t，OF=3-3t，
∴点E（5t，3t-3），
∴3t-3=25t²-10t-3，
∴t=0（舍）或

13

25

，
∴点E（

13

5

，-

36

25

）．

点评：此题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数、二次函数的解析式、直角三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及锐角三角形的运用和两点间的距离公式的运用．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．