Question

如图，点A（m-1，m），B（m+2，m-2）都在反比例函数y=

k

x

的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）若M、N分别为x轴、y轴上的点，则以点A，B，M，N为顶点的四边形是否可以是平行四边形？如果可以是平行四边形，直接写出点M、N的坐标并求出直线MN的函数表达式；如果不可以，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A、B的坐标代入反比例函数的解析式，即可得到关于m的方程，从而求得m，k的值；
（2）首先求得A、B的坐标，则线段AB的长度即可求得，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，若点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则MN与AB相等且平行，则MN的解析式中一次项次数与AB的一次项系数相同，可以设出MN的解析式，求得M，N的坐标，然后根据MN=AB即可得到方程求得未知系数，求得MN的解析式．

解答：解：（1）把A、B的坐标代入反比例函数的解析式得：m（m-1）=（m+2）（m-2）=k，
解得：m=4，k=12；

（2）A的坐标是（3，4），B的坐标是（6，2）．则AB=

(6-3)2+(2-4)2

=

13

，
若M、N分别为x轴、y轴上的点，设M的坐标是（a，0），N的坐标是（0，b）．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
则

3k+b=4 6k+b=2

，解得：

k=- 2 3 b=6

，
则直线的解析式是y=-

2

3

x+6，
设直线MN的解析式是：y=-

2

3

x+c，
在解析式中，令x=0，解得：y=c，即N的坐标是（0，c），
令y=0，解得；x=

3

2

c，则M的坐标是：（

3

2

c，0）．
若点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则MN=AB=

13

，
即c²+（

3

2

c）2=13，
解得：c=±2．
则MN的解析式是y=-

3

2

x+2或y=-

3

2

x-2．
M、N的坐标是：（3，0），（0，2）或（-3，0）或（0，-2）．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及两直线平行的条件，正确表示出M、N的坐标是关键．