Question

17．一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为（-3，0），∠B=30°，则点B的坐标为（-3-$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 过点B作BD⊥OD于点D，根据△ABC为直角三角形可证明△BCD∽△COA，设点B坐标为（x，y），根据相似三角形的性质即可求解．

解答 解：过点B作BD⊥OD于点D，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BCD+∠ACO=90°，
∴△BCD∽△COA，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{CO}{AO}$，
设点B坐标为（x，y），
则$\frac{y}{-x-3}$=$\frac{3}{1}$，
y=-3x-9，
∴BC=$\sqrt{（-x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{10{x}^{2}+60x+90}$，
AC=$\sqrt{1+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠B=30°，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10{x}^{2}+60x+90}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=-3-$\sqrt{3}$，
则y=3$\sqrt{3}$．
即点B的坐标为（-3-$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．
故答案为：（-3-$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，证明三角形的相似，进而求解．