Question

如图，已知AB是⊙0的直径，AC切⊙O于点A，连接CO并延长交⊙0于点D、E，连接BD并延长交边AC于点F．
（1）求证：AD•AC=DC•EA；
（2）若AC=nAB（n∈N），求tan∠CDF的值．

Answer 1

分析：（1）连接AD、AE证明△ADC∽△EAC，根据相似三角形的性质就可以得出

AD

DC

=

AE

AC

，从而得出结论．
（2）如图，由条件可以得出∠CDF=∠1=∠2=∠E，进而可以得出tan∠CDF=tan∠E，由圆的切线定理可以得出AC²=CD．EC，通过等量代换可以求出和式子变形就可以求出tan∠CDF的值．

解答：解：（1）连接AD、AE，
∵AC切⊙O于点A，
∴∠DAC=∠DEA，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△EAC，
∴

AD

DC

=

AE

AC

，
∴AD•AC=DC•EA；

（2）∵∠CDF=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠CDF，
∵∠E=∠2，
∴∠E=∠CDF，
∴tan∠CDF=tan∠E．
∵tan∠E=

AD

AE

，
∴tan∠CDF=

AD

AE

．
∵

AD

DC

=

AE

AC

，
∴

AD

AE

=

DC

AC

，
∴tan∠CDF=

DC

AC

．
∵AC切⊙O于点A，
∴AC²=CD．EC，
∴AC²=CD（CD+AB）．
∵AC=nAB，
∴n²AB²=CD（CD+AB），
∴DC2+AB．DC-n²AB²=0，
∴DC=

-1± 1+4n2

2

•AB，
∴

DC

AB

=

-1± 1+4n2

2

．
∵

DC

AB

＞0，
∴tan∠CDF=

DC

AC

=

DC

nAB

=

-1+ 1+4n2

2n

．

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质，圆周角定理，切割线定理，切线的性质，锐角三角函数的定义，求根公式的运用．