Question

已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AF=3，BC=8，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接AB，OA，OF；
∵F是BE的中点，
∴FE=BF．
∵OB=OC，
∴OF∥EC．
∴∠C=∠POF．
∴∠AOF=∠CAO．
∵∠C=∠CAO，
∴∠POF=∠AOF．
∵BO=AO，OF=OF，
∴∠OAP=∠EBC=90°．
∴PA是⊙O的切线．

（2）解：∵BE是⊙O的切线，PA是⊙O的切线，
∴BF=AF=3，
∴BE=6．
∵BC=8，∠CBE=90°，
∴CE=10．
∵BE是⊙O的切线，
∴EB²=AE•EC．
∴AE=3.6．
分析：（1）要想证PA是⊙O的切线，只要连接OA，求证∠OAP=90°即可；
（2）先由切线长定理可知BF=AF，再在RT△BCE中根据勾股定理求出CE，最后由切割线定理求出AE的长．
点评：本题考查的是切线的判定及相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用的综合运用．