Question

某企业共投资10万元生产A，B两种产品，该企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y_A（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：y_A=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元．
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y_B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润；
（3）请你设计投资方案使该企业想要获得的利润不低于5万元．

Answer 1

解：（1）∵y_A=kx，当投资5万元时，可获利润2万，
∴5k=2，
∴k=，
所以，函数关系式为y_A=x，
∵y_B=ax²+bx当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元，
∴，
解得，
所以，y_B=-x²+x；

（2）设投资B产品x万元，则投资A产品（10-x）万元，
利用y=-x²+x+（10-x）=-x²+x+4=-（x²-6x+9）++4=-（x-3）²+5.8，
即y=-（x-3）²+5.8，
所以，当投资B产品3万元时，能获得的最大利润，
此时投资A产品7万元，B产品3万元，获得最大利润是5.8万元；

（3）y=5时，-（x-3）²+5.8=5，
整理得（x-3）²=4，
所以x-3=2或x-3=-2，
所以，x₁=5，x₂=1，
∵a=-＜0，
∴投资B产品1到5万元时，获得的利润不低于5万元．
分析：（1）利用待定系数法求正比例函数解析式，求二次函数解析式解答即可；
（2）设投资B产品x万元，则投资A产品（10-x）万元，然后写出利润表达式，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）令y=5，根据利润函数关系式求出此时的x的值，然后根据二次函数的性质解答即可．
点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要利用了待定系数法求正比例函数与二次函数的解析式，二次函数的最值问题，以及利用二次函数的性质解不等式，综合题但难度不大．