Question

如图所示，在矩形ABCD中，AD=10，DC=8，点E为AB边上一点，△BCE沿EC所在直线翻折，使得B点刚好落在AD边上F处．
（1）求EF的长度；
（2）若一点P从E出发沿E→B→C以每秒一个单位的速度向C运动，另一点Q从B出发沿B→C→F→D以每秒1个单位的速度向D运动，当其中一点到达终点时运动终止，设运动时间为t（t＞0），点E，P，Q围成的三角形面积为S．求出在整个过程中S与t的函数关系式？
（3）在（2）的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据折叠和矩形性质，利用勾股定理求出DF，即可得出方程，求出方程的解即可；
（2）分为三种情况：①当P在AB上，Q在BC上时，②当P在BC上，Q在BC上时，③当P在BC上，Q在CF上时，根据三角形的面积根式即可求出答案；
（3）分为三种情况：①当P在AB上，Q在BC上时，②当P在BC上，Q在BC上时，③当P在BC上，Q在CF上时，根据等腰三角形性质和勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=BC=10，CD=AB=8，
∵△BCE沿EC所在直线翻折，使得B点刚好落在AD边上F处，
∴CF=BC=10，EF=BE，
∵DC=8，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF=

102-82

=6，
∴AF=10-6=4，
设EF=BE=x，
则在Rt△AEF中，由勾股定理得：（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
即EF=5；

（2）分为三种情况：①当P在AB上，Q在BC上时，

此时0＜t＜5，
∵BQ=EP=t，
∴S=

1

2

EP×BQ=

1

2

t²；
②当P在BC上，Q在BC上时，

此时5≤t≤10，
S=

1

2

PQ×BE
=

1

2

×5×5=12.5；
③当P在BC上，Q在CF上时，

此时10＜t≤15，
过Q作QM⊥BC于M，过P作PN⊥BC于N，
则QM∥PN，
∴△CQM∽△CPN，
∴

CF

CQ

=

QM

PN

，
∴

10

t-10

=

8

QM

，
∴QM=

4

5

（t-10）
S=S_{四边形BEFC}-S_△BEP-S_△QPC-S_△PEQ
=2×

1

2

×5×10-

1

2

×5×（t-5）-

1

2

•（15-t）•

4

5

（t-10）-

1

2

×5×（20-t）
=

2

5

t²-10t+

145

2

；

（3）分为三种情况：①如图1，当P在AB上，Q在BC上，此时0＜t＜5，
此时∠PQC＞90°，
若△CPQ是等腰三角形，只能PQ=CQ，
即（5-t）²+t²=PQ²=CQ²=（10-t）²，
解得：t₁=5（舍去），t₂=-15（舍去）；
②当P在BC上，Q在BC上时，如图2，
此时5≤t≤10，此时不存在三角形CPQ；
③当P在BC上，Q在CF上时，如图3，
此时10＜t≤15，
（i）CP=CQ，
则15-t=t-10，
解得：t=12.5；
（ii）QP=CQ，
则CM=PM，
∵CQ=t-10，QM=

4

5

（t-10），则CM=

3

5

t，
∴

3

5

（t-10）=10-

3

5

（t-10）+5-t，
解得：t=

135

11

；
（iii）CP=PQ，
（15-t）²=[10-

3

5

（t-10）+5-t]²+[

4

5

（t-10）]²，
t₁=

140

11

，t₂=10（此时不存在三角形，舍去）；
综合上述：在（2）的运动过程中，存在某个时刻t，使得△CPQ为等腰三角形，t的值是12.5或

135

11

或

140

11

．

点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰设计的性质和判定，直角三角形的性质和判定的应用，用了分类讨论思想，难度偏大．