Question

如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠CBD=90°，BE∥CD交AD于E，且EA=EB．若AB=4，DB=4，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：∵∠ADB=∠CBD=90°，
∴DE∥CB．
∵BE∥CD，
∴四边形BEDC是平行四边形．
∴BC=DE．
∵在Rt△ABD中，由勾股定理得 ．
设DE=x，则EA=8-x．
∴EB=EA=8-x．
∵在Rt△BDE中，由勾股定理得 DE²+BD²=EB²．
∴x²+4²=（8-x）²．
∴x=3．
∴BC=DE=3．
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=DB•CB=16+6=22．
分析：首先证明四边形BEDC是平行四边形，可得BC=DE，再在Rt△ABD中，由勾股定理算出AD的长为8，设DE=x，则EA=8-x．再利用勾股定理得出x²+4²=（8-x）²．再算出x的值，然后根据S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=DB•CB即可算出答案．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定，以及勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²．