Question

已知：如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于O，点H在AB的延长线上，AH=AC，AG⊥CH，垂足为G，AG交BD于E，交BC于F．
求证：（1）CG=AF；（2）OE=CF．

Answer 1

证明：（1）∵AH=AC，AG⊥CH，
∴CG=，∠BAF=90°-∠H．
∵在正方形ABCD中，∠HAC=∠ABC=90°，
∴∠BCF=90°-∠H．
∴∠BAF=∠BCG．
又∵AB=BC，
∴△ABF≌△CBH．
∴AF=CH．
∴CG=．

（2）取CF的中点P，连接OP，
在正方形ABCD中，∠ABO=∠ACO=90°=45°．
∵AH=AC，AG⊥CH，
∴∠BAE=∠FAC，
∵∠BEF=∠ABE+∠BAF，∠BFE=∠FCA+∠FAC，
∴∠BEF=∠BFE．
∵AO=OC，
∴OP∥AF，
∴∠BOP=∠BEF，∠BPO=∠BFE．
∴∠BOP=∠BPO．
∴OE=FP，
∴．
分析：（1）根据正方形的性质和已知条件证明△ABF≌△CBH，所以可得到AF=CH，进而证明CG=AF；
（2）取CF的中点P，连接OP，利用正方形的性质和已知条件证明OE=FP即可．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形判定及性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的运用．