Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，过点A的切线与CB的延长线交于点E．
（1）求证：EA²=EB•EC；
（2）若EA=AC，，AE=12，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵AE是切线，
∴∠EAB=∠C，
∵∠E是公共角，
∴△BAE∽△ACE，
∴EA：EC=EB：EA，
∴EA²=EB•EC；

（2）解：连接BD，过点B作BH⊥AE于点H，
∵EA=AC，
∴∠E=∠C，
∵∠EAB=∠C，
∴∠EAB=∠E，
∴AB=EB，
∴AH=EH=AE=×12=6，
∵cos∠EAB=，
∴cos∠E=，
∴在Rt△BEH中，BE==，
∴AB=，
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C，
∴cos∠D=，
∴sin∠D=，
∴AD==，
∴⊙O的半径为．
分析：（1）由弦切角定理，可得∠EAB=∠C，继而可证得△BAE∽△ACE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得EA²=EB•EC；
（2）首先连接BD，过点B作BH⊥AE于点H，易证得∠E=∠C=∠D=∠EAB，然后由三角函数的性质，求得直径AD的长，继而求得⊙O的半径．
点评：此题考查了切线的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．