Question

如图，客轮沿折线A─B─C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A─B─C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍．
（1）选择：两船相遇之处E点
A、在线段AB上；B、在线段BC上；C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上．
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？

Answer 1

解：（1）B

（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D点作DF⊥CB于F，连接DE，则DE=x，AB+BE=2x，
∵D点是AC的中点，
∴DF=AB=100，EF=400-100-2x，
在Rt△DFE中，DE²=DF²+EF²，得x²=100²+（300-2x）²，
解得x=200±，
∵200+＞100（舍去），
∴DE=200-．
答：货轮从出发到两船相遇共航行了（200-）海里．
分析：（1）连接BD，则△ABD是等腰直角三角形，假设E为AB的中点，有AB=2DE，此时DE最短；假设E点在线段AB上，但不在中点，根据已知客轮速度是货轮速度的2倍可得AE=2DE，由假设E为AB的中点，有AB=2DE得出AE＞AB，很明显假设不成立．故E点不在AB上，应该在线段BC上；
（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D点作DF⊥CB于F，连接DE，则DE=x，AB+BE=2x，根据D点是AC的中点，得DF=AB=100，EF=400-100-2x，在Rt△DFE中，DE²=DF²+EF²，得x²=100²+（300-2x）²解方程求解即可．
点评：当三角形中有中点时，常作三角形的中位线．要熟练掌握勾股定理并能利用它作为相等关系列方程求解．