Question

以AE为直径的圆O与直角三角形的直角边BC相切于点D，∠B=30°
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BD=3，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC；

（2）解：在Rt△ODB中，∠ODB=90°，∠B=30°，BD=3，
∵tanB=，
∴OD=BD•tanB=3×=3，
∴BO=2OD=6，
∵OE=OD=3，
∴BE=BO-OE=6-3=3．
分析：（1）进行证明一下，先连接OD，OD⊥BC和AC⊥BC，再由其平行从而得证；
（2）在Rt△ODB中求得OD，得到OB，从而得到所求．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题