Question

（2003•泰安）（1）已知△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．就下面给出的三种情况（如图①、②、③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度，并利用图③证明你的结论．

（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD（如图④）、正五边形ABCDE（如图⑤）．正六边形ABCDEF（如图③）、…、正n边形ABCD…X（如图（n）），“点N是射线CA上任意一点”改为点N是射线CD上任意一点，其余条件不变，根据（1）的求解思路，分别推断∠BQM各等于多少度，将结论填入下表：

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等边三角形的性质和BM=CN，容易证明△ABM≌△BCN，再根据确定全等三角形的性质，可以得到∠BAM=∠CBN，而∠BQM=∠ABN+∠BAM，现在可以得到∠BQM=∠ABC=60°；
（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD（如图④）、正五边形ABCDE（如图⑤）．正六边形ABCDEF等等，始终都可以证明△ABM≌△BCN，然后利用全等三角形的性质始终都可以证明∠BQM=∠ABC，再根据正多边形的边数就可以求出各自的度数．
解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，
而BM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠NBC，
而∠BQM=∠ABN+∠BAM（三角形外角定理），
∵∠ABM=∠ABN+∠NBC，
∴∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠NBC，
∴∠BQM=∠ABC=60°；

（2）同理可证：△ABM≌△BCN，
所以正方形：90°；
正五边形ABCDE：108°；
正六边形ABCDEF：120°；
正n边形ABCD…X：．
点评：此题利用了数学的常用思想--由简单到复杂，首先探究正三角形，然后到正n边形，都是用全等三角形的性质解决问题．