Question

对于正整数n，规定n!=1×2×…×n．则乘积1!×2!×…×9!的所有约数中，是完全平方数的共有

672

个．

Answer 1

分析：先把1!×2!×…×9!的积分解质因数，再求出最大完全平方约数的平方根的个数，再根据积的约数的个数即是原数完全平方因数的个数即可得出结论．

解答：解：把积分解质因数，得30个2，13个3，5个5，3个7；
最大完全平方约数的平方根为15个2，6个3，2个5，1个7；
它的约数的个数即是原数完全平方因数的个数，即（15+1）×（6+1）×（2+1）×（1+1）=672个．
故答案为：672．

点评：本题考查的是完全平方数，解答此题的关键是根据题意把1!×2!×…×9!的积分解质因数，再根据它的约数的个数即是原数完全平方因数的个数即可得出结论．