Question

17．△ABC中，AB=13，BC=20，AC=21，AD平分∠BAC，M、N分别是AD、AB上的点，则BM+MN的最小值是12．

Answer 1

分析 通过作辅助线，先找出BM+MN的最小值是BE，设AE=x，根据勾股定理列方程组可求出x的值，从而得BE的长，即是BM+MN的最小值．

解答 解：∵AD平分∠BAC，
作N关于AD的对称点N′，则N′在AC上，连接MN′，则MN=MN′，
过B作BE⊥AC于E，
∵BM+MN=BM+MN′，
∴BM+MN≥BE（垂线段最短），
设AE=x，则CE=21-x，
则$\left\{\begin{array}{l}{B{E}^{2}=1{3}^{2}-{x}^{2}}\\{B{E}^{2}=2{0}^{2}-（21-x）^{2}}\end{array}\right.$，
解得：x=5，
∴BE=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
即BM+MN的最小值是12．

点评 本题考查了最短路径问题，根据角平分线的性质定理及垂线段最短，得三角形的高线BE即是最短路径．