Question

4．已知一元二次方程x²-4x+4m-1=0有两个实数根x₁、x₂，且满足不等式$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$＜1，则实数m的取值范围为-$\frac{3}{4}$＜m≤$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得m的取值范围，再根据根的判别式求得m的取值范围．最后综合情况，求得m的取值范围．

解答 解：∵一元二次方程x²-4x+4m-1=0有两个实数根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=4m-1，
代入不等式得-$\frac{4m-1}{4}$＜1，
解得m＞-$\frac{3}{4}$，
又∵方程有两个实数根，
∴△=b²-4ac=（-4）²-4×1×（4m-1）≥0，
解得m≤$\frac{5}{4}$，
综合以上可知实数m的取值范围是-$\frac{3}{4}$＜m≤$\frac{5}{4}$．
故答案为：-$\frac{3}{4}$＜m≤$\frac{5}{4}$．

点评 此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．