Question

初三（1）班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大．
小组讨论后，同学们做了以下三种试验：

请根据以上图案回答下列问题：
（1）在图案（1）中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为6米，当AB为1米，长方形框架ABCD的面积是

4

3

m²；
（2）在图案（2）中，如果铝合金材料总长度为6米，设AB为x米，长方形框架ABCD的面积为S=

-x²+2x

（用含x的代数式表示）；当AB=

1

时米，长方形框架ABCD的面积S最大；在图案（3）中，如果铝合金材料总长度为l米，设AB为x米，当AB是多少米时，长方形框架ABCD的面积S最大．

Answer 1

分析：（1）求出AD的长度，即可得出长方形框架ABCD的面积．
（2）先用x表示出AD，继而得出S的表达式，利用配方法可求出S的最大值；同理图案（3）的最大面积也可求解．

解答：解：（1）当AB=1m时，AD=

4

3

m，S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=

4

3

m²；

（2）图（2）中，设AB为x米，则AD=

6-3x

3

=2-x，
S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=-x²+2x=-（x-1）²+1，
当x=1时，S取得最大值；
即当AB=1米，长方形框架ABCD的面积S最大．
图（3）中，设AB为x米，则AD=

l-4x

3

，
S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=-

4

3

x²+

l

3

x=-

4

3

（x-

l

8

）²+

1

12

l²，
当x=

l

8

，长方形框架ABCD的面积S最大．
故答案为：

4

3

、-x²+2x、1．

点评：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出AD的长度，得出S关于x的表达式，注意掌握配方法求二次函数最值得应用，有一定难度．