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    （2010•仙桃）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
    （1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
    （2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立???写出证明过程；若不成立，请说明理由；
    （3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

    【答案】分析：（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可证得AP⊥EF．
    （2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF与∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可证得AP⊥EF，所以（1）题的结论仍然成立．
    （3）解题思路和方法同（2）．
    解答：解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
    连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；
    ∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
    ∴四边形OECF是正方形，
    ∴OM=OF=OE=AM，
    ∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
    ∴△AMO≌△FOE（AAS），
    ∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
    故AP=EF，且AP⊥EF．

    （2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
    延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
    ∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
    ∴四边形MBEP是正方形，
    ∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
    又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
    ∴AM=PF，
    ∴△AMP≌△FPE（SAS），
    ∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF
    ∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
    ∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
    故AP=EF，且AP⊥EF．

    （3）题（1）（2）的结论仍然成立；
    如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．
    点评：充分利用正方形的性质，灵活的构造全等三角形，并能够根据全等三角形的性质来得到所求的条件是解决此题的关键．
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    （1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
    （2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

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    （2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立???写出证明过程；若不成立，请说明理由；
    （3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

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    （3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

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