Question

18．如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，过点B作BM⊥AC于点M，多点D作DN⊥AC于点N，分别连接BN与DM，求证：BN=DM．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，又由BM⊥AC，DN⊥AC，即可得BM∥DN，∠DNA=∠BMC=90°，然后利用AAS证得△ADN≌△CBM，即可得DN=BM，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，证得四边形BMDN是平行四边形，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴∠AND=∠BMC=90°，BM∥DN，
∵在△ADN和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AND=∠BMC}&{\;}\\{∠DAN=∠BCM}&{\;}\\{AD=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN=BM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∴BN=DM．

点评 本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．