Question

如图A（-7，-3）、B（0，-3），将线段AB先向上平移6个单位再向右平移3个单位得到线段A₁B₁，再将线段A₁B₁绕原点O顺时针旋转90°得到线段A₂B₂．
（1）在图中画出线段A₁B₁和线段A₂B₂．
（2）点A到点A₂过程中所走过的路径的长为

 

单位．
（3）线段A₁B₁到A₂B₂所扫过的面积为

 

平方单位．

Answer 1

考点：作图-旋转变换,弧长的计算,扇形面积的计算,作图-平移变换

专题：作图题

分析：（1）找出A、B旋转后的对应点A₁、B₁和线段A₂、B₂，然后连接即可；
（2）分平移时走过的路径与旋转时的弧长两个部分列式计算即可得解；
（3）设A₁B₁与y轴的交点为C，A₂B₂与x轴的交点为C′，然后根据线段A₁B₁到A₂B₂所扫过的面积=扇形A₁OA₂的面积+扇形B₁OB₂的面积+△OA₂B₁的面积-△A₁OC的面积-△OB₂C′的面积-扇形COC′的面积，然后列式计算即可得解．

解答：解：（1）线段A₁B₁和线段A₂B₂如图所示；

（2）点A到点A₁过程中所走过的路径的长=6+3=9，
根据勾股定理，A₁O=

32+42

=5，
点A₁到点A₂过程中所走过的路径的长=

90•π•5

180

=

5

2

π，
所以，点A到点A₂过程中所走过的路径的长=9+

5

2

π；

（3）如图，设A₁B₁与y轴的交点为C，A₂B₂与x轴的交点为C′，
则线段A₁B₁到A₂B₂所扫过的面积=扇形A₁OA₂的面积+扇形B₁OB₂的面积+△OA₂B₁的面积-△A₁OC的面积-△OB₂C′的面积-扇形COC′的面积，
=

90•π•52

360

+

90•π•(3 2 )2

360

+

1

2

×1×3-

1

2

×3×4-

1

2

×3×3-

90•π•32

360

，
=

17

2

π-9．
故答案为：（2）9+

5

2

π；（3）

17

2

π-9．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，扇形的面积公式，以及利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，（3）要注意线段扫过的面积的各组成部分．