Question

（2009•芜湖）如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）计算：AC•AF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OA、OB，证明△ABD为等边三角形后根据三心合一的定理求出∠OAC=60°，求出四边形ABDF内接于圆O，利用切线的性质求出AE⊥DE；
（2）由1可得△ABD为等边三角形，易证△ADF∽△ACD，可得AD²=AC•AF．
解答：（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，D为BC的中点，
∴∠ABD=60°，AD=BD=DC．
∴△ABD为等边三角形．（2分）
∴O点为△ABD的中心（内心，外心，垂心三心合一）．
连接OA，OB，∠BAO=∠OAD=30°，
∴∠OAC=60°．（3分）
又∵AE为⊙O的切线，
∴OA⊥AE，∠OAE=90°．
∴∠EAF=30°．
∴AE∥BC．（6分）
又∵四边形ABDF内接于圆O，
∴∠FDC=∠BAC=90°．
∴∠AEF=∠FDC=90°，即AE⊥DE．（8分）

（2）解：由（1）知，△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°．
∴∠ADF=∠C=30°，∠FAD=∠DAC．
∴△ADF∽△ACD，则．（10分）
∴AD²=AC•AF，又AD=BC=6．
∴AC•AF=36．（12分）
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．