Question

19．在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程x²+mx+1-m=0的两个实数根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 分a为等腰三角形的腰和底考虑：①当a为腰时，将x=3代入原方程可求出m值，进而通过解一元二次方程求出b、c两边的长度，利用三角形三边关系可确定此种情况符合题意，进而可求出△ABC的周长；②当a为底时，由根的判别式△=0可求出m的值，再由根与系数的关系结合b=c可求出b、c的长度，利用三角形三边关系可确定此种情况符合题意，进而可求出△ABC的周长．综上，即可得出结论．

解答 解：分以下两种情况讨论：
①当a为等腰三角形的腰时，不妨设另一腰为b，即b=a=3，
∵b是关于x的方程x²+mx+1-m=0的实数根，代入得：m=-5，
原方程即为：x²-5x+6=0，
解得：x₁=2，x₂=3．
∵b=3，c=2，a=3符合题意，
∴△ABC的周长为8．
②当a为等腰三角形的底时，有b=c，
∵b和c是关于x的方程x²+mx+1-m=0的实数根，
∴△=m²-4（1-m）=0，
解得：m₁=2$\sqrt{2}$-2，m₂=-2$\sqrt{2}$-2．
由根与系数关系得：b+c=-m，
∴b+c=2$\sqrt{2}$+2或b+c=2-2$\sqrt{2}$＜0（舍去），
∴b=c=$\sqrt{2}$+1．
∵b=c=$\sqrt{2}$+1，a=3符合题意，
∴△ABC的周长为2$\sqrt{2}$+2+3=2$\sqrt{2}$+5．
综上所述：△ABC的周长为8或2$\sqrt{2}$+5．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程的解、三角形三边关系以及根的判别式，分a为等腰三角形的腰和a为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．