Question

19．先化简，再求值：（$\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$+$\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$）÷$\frac{x-y+1}{\sqrt{x}}$，其中x=2+$\sqrt{3}$，y=2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先利用完全平方公式、分母有理化和把除法运算化为乘法运算得到原式=[$\frac{（\sqrt{x}+\sqrt{y}）^{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$+$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$]•$\frac{\sqrt{x}}{x-y+1}$，约分后通分得到原式=（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$）•$\frac{x-y+1}{x-y}$•$\frac{\sqrt{x}}{x-y+1}$，再进行约分得到原式=$\frac{x+\sqrt{xy}}{x-y}$，接着分别计算出x-y=2$\sqrt{3}$，xy=1，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：原式=[$\frac{（\sqrt{x}+\sqrt{y}）^{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$+$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$]•$\frac{\sqrt{x}}{x-y+1}$
=（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$+$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$）•$\frac{\sqrt{x}}{x-y+1}$
=（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$）•$\frac{x-y+1}{x-y}$•$\frac{\sqrt{x}}{x-y+1}$
=$\frac{x+\sqrt{xy}}{x-y}$，
∵x=2+$\sqrt{3}$，y=2-$\sqrt{3}$，
∴x-y=2$\sqrt{3}$，xy=1，
∴原式=$\frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{1}}{2\sqrt{3}}$
=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．