Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=4cm，OC=3cm，动点E、F分别从O、B同时出发，以每秒1厘米的速度运动．其中，点E沿OA向终点A点运动，点F沿BC向终点C点运动，过点F作FP⊥BC，交AC于点P，连结EP．用ⅹ表示动点运动的时间．
（1）分别写出当动点运动了1秒、2秒及ⅹ秒时P点的坐标；
（2）试求△EPA面积y与x的函数关系式，并求出x为何值时，△EPA的面积最大；
（3）探索：当x为何值时△EPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出P点坐标．（注：正确写出两种情况的另加3分，三种情况的另加5分）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）首先利用待定系数法求得直线AC的解析式，根据时间即可求得BF的长，则CF即可求得，即求得P的横坐标，把横坐标代入直线AC的解析式即可求得纵坐标，得到P的坐标；
（2）利用时间x表示出OE的长，则AE即可求解，根据三角形的面积公式即可求得函数解析式；
（3）首先利用x表示出AP、EP和AE的长，然后分EP=AP、AE=EP、AP=AE三种情况列方程即可求得x的值，求得P的坐标．

解答：解：（1）设直线AC的解析式是y=kx+b，根据题意得：

b=3 4k+b=0

，
解得：

b=3 k=- 3 4

，
则直线AC的解析式是：y=-

3

4

x+3，
运动1秒时，BF=1，则CF=4-1=3，
把x=3代入y=-

3

4

x+3得：y=

3

4

，则P的坐标为（3，

3

4

）；
同理，运动2秒时P的坐标为（2，

3

2

）；
运动x秒时P的坐标为（4-x，

3

4

x）；

（2）当运动时间是x秒时，OE=x，则AE=4-x，
则y=

1

2

AE•

3

4

x=

1

2

（4-x）•

3

4

x，
即y=-

3

8

x²+

3

2

x，
当x=2时面积最大，最大值为

3

2

．

（3）∵PF∥AB，
∴

AP

AC

=

BF

BC

，即

AP

5

=

x

4

，
则AP=

5

4

x，
又∵EP=

(4-2x)2+( 3 4 x)2

，AE=4-x，
当AP=EP时，P应该在线段AE的中垂线上，则x=4-2x，
解得：x=

4

3

，则P的坐标是：（

8

3

，1）；
当AE=EP时，4-x=

(4-2x)2+( 3 4 x)2

，
解得：x=

128

57

或0（舍去），此时P的坐标是（

100

57

，

32

19

）；
当AE=AP时，4-x=

5

4

x，解得：x=

16

9

，此时P的坐标是（

20

9

，

4

3

）；
则x的值是：

4

3

或

128

57

或

16

9

．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的应用，求得P的坐标是关键．