Question

将（n+1）个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A、A₁、A₂、A₃、…A_n+1和点M、M₁、M₂、M₃，…M_n是正方形的顶点，连结AM₁，A₁M₂，A₂M₃，…AM_n，分别交正方形的边A₁M，A₂M₁，A₃M₂，…A_nM_n-1于点N₁，N₂，N₃，…，N_n，四边形M₁N₁A₁A₂的面积为S₁，四边形M₂N₂A₂A₃的面积是S₂，…四边形M_nN_nA_nA_n+1的面积是S_n，则S_n=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：规律型

分析：根据题意得出：△M₁MN₁∽△M₁EA，进而求出MN₁的长，进而得出S₁，同理得出S₂，进而得出S_n的值．

解答：解：由题意可得出：△M₁MN₁∽△M₁EA，
则

MM1

EM1

=

MN1

AE

=

1

2

，
故MN₁=

1

2

，
故四边形M₁N₁A₁A₂的面积为S₁=1-

1

2

×1×

1

2

=1-

1

4

=

3

4

；
同理可得出：

M1M2

EM2

=

M1N2

AE

=

1

3

，
故四边形M₂N₂A₂A₃的面积是S₂=1-

1

2

×1×

1

3

=1-

1

6

=

5

6

，
则四边形M_nN_nA_nA_n+1的面积是S_n=1-

1

2(n+1)

=

2n+1

2n+2

．
故答案为：

2n+1

2n+2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及数字变化规律，得出四边形的面积变化规律是解题关键．