Question

如图．已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁，过C₁作C₁A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，…，则CA₁=

 

，

CnAn+1

AnCn

（其中n为正整数）=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：规律型

分析：由Rt△ABC中，AC=3，BC=4，可求得AB的长，然后由CA₁⊥AB，利用三角形的面积可得，直角三角形斜边上的高等于直角边相乘除以斜边，即可求得CA₁的长，然后由三角形函数的性质，求得

CnAn+1

AnCn

（其中n为正整数）的值．

解答：解：∵Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵CA₁⊥AB，
∴CA₁=

AC•BC

AB

=

12

5

，cos∠B=

AC

AB

=

4

5

，
∵A₁C₁⊥BC，
∴∠CA₁B=∠A₁C₁B=90°，
∴∠CA₁C₁+∠A₁CB=∠B+∠A₁CB=90°，
∴∠CA₁C₁=∠B，
同理：∠A_nC_nA_n+1=∠B，
∴cos∠A_nC_nA_n+1=

CnAn+1

AnCn

=

4

5

．
故答案为：

12

5

，

4

5

．

点评：此题考查了直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意得到∠A_nC_nA_n+1=∠B是解此题的关键．