Question

（2012•义乌市）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=

1

2

．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

Answer 1

分析：（1）根据点E的纵坐标判断出OA=4，再根据tan∠BOA=

1

2

即可求出AB的长度；
（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值；
（3）先利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度．

解答：解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=

1

2

，
∴AB=OA×tan∠BOA=4×

1

2

=2；

（2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2），
∵点D为OB的中点，
∴点D（2，1）
∴

k

2

=1，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

，
又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，
∴

2

4

=n，
解得n=

1

2

；

（3）如图，设点F（a，2），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴

2

a

=2，
解得a=1，
∴CF=1，
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2-t，
在Rt△CGF中，GF²=CF²+CG²，
即t²=（2-t）²+1²，
解得t=

5

4

，
∴OG=t=

5

4

．

点评：本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，以及折叠的性质，求出点D的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键．