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(2008•广州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm,点B、C、Q、R在同一直线l上,且C、Q两点重合,如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米.
(1)当t=4时,求S的值;
(2)当4≤t≤10,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.

【答案】分析:(1)首先判定当t=4时,点B与点Q重合,点P与点D重合,则求△BDC的面积即可.
(2)分别从4≤t<6与6≤t≤10去分析,求得各自的函数解析式,再分析各种情况下的最大值即可求得答案.
解答:解:(1)当t=4时,CQ=4cm,
过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F,
∵AE=DF=cm,∠AEB=∠DFC=90°,AB=CD,
∴△ABE≌△DFC,
∴BE=CF,
∵EF=AD=2cm,BC=4cm,
∴BE=CF=1cm,
∴点D与点P重合,
∴S△BDC=BC•DF=×4×=2(cm2);
(2)当4≤t<6时,P在线段AD上,作KH⊥QH,过点M作MN⊥BC于N,
∵∠Q=30°,∠1=60°,
∴∠2=∠1-∠Q=30°,
∠3=∠2=30°,
∴QB=BM=QC-BC=t-4,
∵∠R=∠Q=30°,∠DCB=∠ABC=60°,
∴∠CKR=∠DCB-∠R=30°=∠R,
∴KC=CR=6-t,
∴HK=KC•sin60°=(6-t)
∴同理:MN=(t-4),
∴S=S△PQR-S△BQM-S△CRK=QR•PG-BQ•EM-CR•FN
=×6×-×(t-4)2-×(6-t)2=-t2+5t-10
∵a=-<0,开口向下,
∴S有最大值,
当t=-=5时,S最大值为
当6≤t≤10时,P在线段DA的延长线上,
∵∠1=60°,∠2=30°,
∴∠3=90°
∴RC=t-6,BR=4-RC=4-(t-6)=10-t,
∴TB=BR=,TR=BR=(10-t),
∴S=TB•TR=××(10-t)=t2-t+
当a>0时,开口向上,-=10,
∴t=6时,S最大值为2
综上,t=5时,S最大值为
点评:本小题主要考查等腰三角形、等腰梯形、解直角三角形、二次函数等基础知识,考查运算能力、推理能力和空间观念.
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