Question

7．已知关于x的一次方程x²+（2m-1）+m²=0有两个实数根x₁和x₂
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x₁²-x₂²=0时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由x₁²-x₂²=0得x₁+x₂=0或x₁-x₂=0；当x₁+x₂=0时，运用两根关系可以得到-2m-1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值

解答 解：（1）∵方程x²+（2m-1）+m²=0有两个实数根x₁和x₂，
∴△=（2m-1）²-4m²≥0，
解得：m≤$\frac{1}{4}$；

（2）由两根关系，得：x₁+x₂=-（2m-1），x₁•x₂=m²，
由x₁²-x₂²=0得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
若x₁+x₂=0，即-（2m-1）=0，解得m=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$，
∴m=$\frac{1}{2}$不合题意，舍去，
若x₁-x₂=0，即x₁=x₂
∴△=0，由（1）知m=$\frac{1}{4}$，
故当x₁²-x₂²=0时，m=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0及熟练掌握韦达定理是关键．