Question

8．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于A（4，0）、B（0，3）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于D．
（1）若S_梯形OBCD=4.5，求点C的坐标；
（2）在第一象限内求作一点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似，求出所有符合条件的点P．

Answer 1

分析 （1）因为点C为线段AB上的一动点，CD⊥x轴于点D，所以可设点C坐标为（x，-$\frac{3}{4}$x+3），那么OD=x，CD=-$\frac{3}{4}$x+3，利用梯形的面积公式可列出关于x的方程，解之即可，但要注意x的取值；
（2）因为∠AOB=90°，所以以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似需分三种情况进行讨论：①当∠OBP=90°时，又分△BPO∽△OAB；△BOP∽△OAB；②当∠OPB=90°时，过点O作OP⊥BA于点P，过点P作PM⊥OA于点M．又分△PBO∽△OBA；△POB∽△OBA；③当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．

解答 解：（1）设点C坐标为（x，-$\frac{3}{4}$x+3），那么OD=x，CD=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵S_梯形OBCD=4.5，
∴$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{4}$x+3+3）x=4.5，
解得x₁=2，x₂=6（舍去），
∴点C的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）；

（2）以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似时，分三种情况：
①当∠OBP=90°时，如图1．
若△BPO∽△OAB，则$\frac{BP}{OA}$=$\frac{OB}{OB}$，
∴BP=OA=4，
∴P₁（4，3）；
若△BOP∽△OAB，则$\frac{BP}{OB}$=$\frac{OB}{OA}$，即$\frac{BP}{3}$=$\frac{3}{4}$，
∴BP=$\frac{9}{4}$，
∴P₂（$\frac{9}{4}$，3）；
②当∠OPB=90°时，如图2．
过点O作OP⊥BA于点P，过点P作PM⊥OA于点M．
若△PBO∽△OBA，则$\frac{BP}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OB}{AB}$，即$\frac{BP}{3}$=$\frac{OP}{4}$=$\frac{3}{5}$，
∴BP=$\frac{9}{5}$，OP=$\frac{12}{5}$．
∵在△PMO与△AOB中，
∠OPM=∠BAO，∠OMP=∠BOA=90°，
∴△PMO∽△AOB，
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{PM}{OA}$=$\frac{OP}{AB}$，即$\frac{OM}{3}$=$\frac{PM}{4}$=$\frac{\frac{12}{5}}{5}$，
∴OM=$\frac{36}{25}$，PM=$\frac{48}{25}$，
∴P₃（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）；
若△POB∽△OBA，则∠OBP=∠BAO．
∵∠POM=∠OBP=90°-∠BOP，
∴∠POM=∠BAO，
又∠OMP=∠AOB=90°，
∴△OMP∽△AOB，
∴$\frac{PM}{OB}$=$\frac{OM}{OA}$，即$\frac{PM}{3}$=$\frac{\frac{36}{25}}{4}$，
∴PM=$\frac{27}{25}$，
∴P₄（$\frac{36}{25}$，$\frac{27}{25}$）；
③当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
综合所述，符合条件的点有四个，分别是：P₁（4，3），P₂（$\frac{9}{4}$，3），P₃（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$），P₄（$\frac{36}{25}$，$\frac{27}{25}$）．

点评 本题是一次函数综合题，考查了梯形的面积，相似三角形的判定与性质，难度适中．运用分类讨论、数形结合、方程思想是解题的关键．