Question

（2012•乐陵市二模）操作观察：
一个三角形的三条边为a、b、c，其中a=6cm，b+c=10cm，这个三角形面积的最大值是多少？
可以用以下的实验方法：如图
①把一根16cm的细线结成一个环；
②把细线的6cm长的一段拉直，并固定这段线的两端B、C；
③在细线的另一部分上任取一点A，拉动点A，使细线围成△ABC；
④移动点A在细线上的位置，观察△ABC的面积何时最大，求出最大面积．
拓展应用：
（1）一个平行四边形的四条边为a、b、c、d，其中a、b为对边，c、d为对边，且a+b=6cm，c+d=10cm，这个平行四边形面积的最大值是多少？
（2）一个梯形的四条边为a、b、c、d，其中a、b为对边，c、d为对边，且a=8cm，b=2cm，c+d=10cm，这个梯形面积的最大值是多少？

Answer 1

分析：操作观察：不难发现，当b=c时，点A到到BC的距离AD最大，此时△ABC的面积最大，然后利用勾股定理列式求出AD的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
拓展应用：（1）根据平行四边形的对边相等求出a、c，再根据a、c互相垂直时，即平行四边形为矩形时面积最大，然后列式计算即可得解；
（2）根据操作结论，当c、d相等时，梯形的面积最大，然后作辅助线构造出以腰长为斜边的直角三角形，再利用勾股定理列式求出等腰梯形的高，根据梯形的面积公式列式计算即可得解．

解答：操作观察：根据操作，当AB=AC，即b=c=

1

2

×10=5cm时，
BC边上的高AD最长，
此时BD=

1

2

×6=3cm，
AD=

AB2-BD2

=

52-32

=4cm，
△ABC的最大面积=

1

2

×6×4=12cm²；

拓展应用：（1）∵a+b=6cm，c+d=10cm，
∴a=

1

2

×6=3cm，c=

1

2

×10=5cm，
当a⊥c时，平行四边形面积的最大，
此时，平行四边形为矩形，最大面积=3×5=15cm²；

（2）如图，当c、d相等时，梯形的面积最大，
此时，

1

2

（a-b）=

1

2

（8-2）=3cm，
c=

1

2

×10=5cm，
梯形的高h=

52-32

=4cm，
梯形的最大面积=

1

2

（a+b）•h=

1

2

×（2+8）×4=20cm²．

点评：本题是四边形综合题型，读懂题目信息，根据操作，观察出面积最大时的高的位置是解题的关键，也是本题的难点．