Question

5．在△ABC中，AC=6$\sqrt{5}$，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为$\frac{1}{2}$，并且CD⊥AC，则BC的长为$\frac{15}{2}$或15．

Answer 1

分析 如图1中，当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，先求出BE，EC，在RT△BCE中利用勾股定理即可解决，如图2中，当点D在线段AB上时，作BE⊥CD于E，方法类似第一种情形．

解答 解：如图1中，当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，
∵AC⊥CD，
∴AC∥BE，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{DB}{DA}$=$\frac{1}{4}$，
∵AC=6$\sqrt{5}$，
∴BE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
∵tan∠BCE=$\frac{1}{2}$，
∴EC=2BE=3$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}+（{\frac{3}{2}\sqrt{5}）}^{2}}$=$\frac{15}{2}$．
如图2中，当点D在线段AB上时，
作BE⊥CD于E，
∵AC∥BE，AC=6$\sqrt{5}$，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{DB}{DA}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=3$\sqrt{5}$，
∵tan∠BCE=$\frac{1}{2}$，
∴EC=2BE=6$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=15．
故答案为：$\frac{15}{2}$或15．

点评 本题考查解直角三角形、平行线的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型．