Question

18．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=30°，AB=6+2$\sqrt{3}$，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD和AC的动点，则PC+PQ的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作CE⊥AB，垂足为E，交AD于P点，过P点作PQ⊥AC，垂足为Q．则CP+PQ为所求的最小值，根据AD是∠BAC的平分线可知PE=PQ，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 解：如图，作CE⊥AB，垂足为E，交AD于P点，过P点作PQ⊥AC，垂足为Q．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PE=PQ，
∴CP+PQ=CP+PE=CE，
∴CE是点C到直线AB的最短距离（垂线段最短），
∴CE就是CP+PQ的最小值，
∵∠B=45°，∠BAC=30°，
∴CE=BE，AE=$\sqrt{3}$CE，
∵AB=6+2$\sqrt{3}$，
∴BE+AE=CE+$\sqrt{3}$CE=6+2$\sqrt{3}$，
∴CE=2$\sqrt{3}$．
∴PC+PQ的最小值是2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．