Question

两个全等的Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，其中∠A=60°，∠ACB=∠DFE=90°且AC=1．固定△ABC不动，将△DEF作如下操作：
（1）如图1，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的面积会变吗？若不变请求出其面积；

（2）如图2，当D点移到AB中点时，连接DC、CF、FB，BC与DF相交于点O．除Rt△ABC≌Rt△DEF外，请找出图中其他所有全等三角形，不必写理由；
（3）如图3，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求：sin∠α的值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形全等和同底等高的三角形面积相等，找出面积相等的图形；
（2）根据全等三角形的判定定理解答；
（3）根据三角函数的概念解答．

解答：解：（1）因为S_{四边形CDBF}=S_三角形CDF+S_三角形FDB=S_三角形CAD+S_三角形CDB=S_△ABC，
所以四边形CDBF的面积不会变．
S_{四边形CDBF}=S_△ABC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

（2）△COD≌△BOD≌△BOF≌△COF；
△ACD≌△FCD≌△BFD；
△BCD≌△BCF≌△EFB．

（3）过D点作DH⊥AE于H，在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

7

，
∵∠DAH=∠EAB，∠DHA=∠ABE=90°，
∴△ADH∽△AEB得

DH

BE

=

AD

AE

，即

DH

3

=

1

7

，解得DH=

21

7

，
而DE=AB=2，在Rt△DHE中，sin∠α=

DH

DE

=

21

7

÷2=

21

14

．

点评：此题是一个动点问题，虽然图形发生了变化，但根据同底同底等高的三角形面积相等，找到面积相等的三角形．